Заданы точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4). Найти:

5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими

плоскостями;  

6) площадь треугольника BCD;  

7) расстояние от точки B до плоскости ACD;  

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

5) Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные для плоскости АВС и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 6 - 8            16 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -2                  15                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·15) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-2)) + (z – 7)(1·15-6·(-2)) = 0

27(x – 8) + 9(y – 1) + 27(z – 7) = 0

27x + 9y + 27z - 414 = 0, сократив на 9, получаем:

3x + y + 3z - 46 = 0

Ответ: уравнение плоскости АВС 3x + y + 3z - 46 = 0.

Аналогично подставляем данные для плоскости ABD.

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 1 - 8              7 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -7                   6                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)(1·6-6·(-7)) = 0

0(x – 8) + 24(y – 1) + 48(z – 7) = 0

0x + 24y + 48z - 360 = 0, сократив на 12, получаем

2y + 4z - 30 = 0.

Ответ: уравнение плоскости АВD 2y + 4z - 30 = 0.

Вычислим угол между плоскостями

3x + y + 3z - 46 = 0 и

2y + 4z - 30 = 0.

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))

cos α = |3·0 + 1·2 + 3·4|/(√(3² + 1² + 3²)*√(0² + 2² + 4²)) =

= |0 + 2 + 12|/(√(9 + 1 + 9)*√(0 + 4 + 16)) =

= 14/(√19*√20) = 14/√380 = 7√95/95 ≈ 0,71819.

α = 44,09518°.

6) Найдем площадь грани ВСD с учётом геометрического смысла векторного произведения:

 S=1/2*□((BC) ⃗*(BD) ⃗ ).

Находим вектор ВC.  

ВC = C(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0).

Находим вектор ВD.  

ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).

Векторное произведение:

  i      j       k

-3   9     0

-8   0  0  = i(9·0-0·0) - j((-3)·0-0·(-8)) + k((-3)·0-9·(-8)) =

                   =0i + 0j + 72k.

Получен нормальный вектор плоскости BCD, равный (0; 0; 72).

Площадь грани BCD равна половине модуля векторного произведения.

S(BCD) = (1/2)√(0² + 0² + 72²) = (1/2)√(0 + 0 + 5184) = (1/2)*72 = 36 кв. ед.

7) ) Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ACD, сначала определяем уравнение плоскости ACD.

Подставим данные для плоскости АCD и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                 z - 7

 6 - 8              16 – 1               4 - 7

 1 - 8               7 – 1                4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    -2                15                    -3

   -7                  6                     -3 = 0

(x – 8)(15·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)((-2)·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)((-2)·6-15·(-7)) = 0

(-27)(x – 8) + 15(y – 1) + 93(z – 7) = 0

(-27)x + 15y + 93z - 450 = 0, сократив на (-3), получаем:

уравнение плоскости ACD 9x - 5y - 31z + 150 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:  

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |9·9 + (-5)·7 + (-31)·4 + 150|/√(9² + (-5)² + (-31)²) =  

= |81 - 35 - 124 + 150|/√(81 + 25 + 961) =

= 72/√1067 = 72√1067/1067 ≈ 2,2042.

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.

Точка E - это проекция точки A на плоскость BCD.  

Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).

Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.

(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,

72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:

уравнение плоскости BCD z – 4 = 0

Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).

((x - 8)/0 = (y - 1)/0 = ((z – 7)/72.

Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.

Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:

E(8; 1; 4).

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения

медиан треугольника ABC.

Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.

Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).

Находим вектор DM.  

DM = M((23/3); 8; 5) - D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).

По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.

Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = t, x = (20/3)t + 1.

(y – 7)/8 = t,        y = 8t + 7.

(z – 4)/5 = t,        z = 5t + 4.