1) Длина дуги AB вычисляется по формуле , где R - радиус окружности, - центральный угол дуги в радианах.
Так как ΔАВС - правильный (все углы равны), центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, значит = ∠AOB, где O - центр вписанной (маленькой) окружности.
2) AB - касательная к вписанной окружности, значит OH ⊥ AB (см. рис.). Кроме того, центр вписанной окружности лежит на серединной перпендикуляре к стороне треугольника, значит AH = BH. Таким образом, в ΔAOB медиана совпадает с высотой, значит он равнобедренный с основанием AB, ∠ABO = ∠BAO
3) В правильном треугольнике центр вписанной окружности лежит на биссектрисах его углов, значит ∠ABO = 0.5 * ∠ABC = 30°.
Ответ:
Объяснение:
1) Длина дуги AB вычисляется по формуле
, где R - радиус окружности, 
- центральный угол дуги в радианах.
Так как ΔАВС - правильный (все углы равны), центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, значит
= ∠AOB, где O - центр вписанной (маленькой) окружности.
2) AB - касательная к вписанной окружности, значит OH ⊥ AB (см. рис.). Кроме того, центр вписанной окружности лежит на серединной перпендикуляре к стороне треугольника, значит AH = BH. Таким образом, в ΔAOB медиана совпадает с высотой, значит он равнобедренный с основанием AB, ∠ABO = ∠BAO
3) В правильном треугольнике центр вписанной окружности лежит на биссектрисах его углов, значит ∠ABO = 0.5 * ∠ABC = 30°.
По теореме о сумме углов треугольника ∠AOB = 180° - (∠ABO + ∠BAO) = 180° - (30° + 30°) = 120°
4)
(п. 1). Подставим значения 
= ∠AOB (п. 1) и R = 12√3 (условие)
∠AOB = 120° (п. 3) = 2π/3 (радиан)