Найдите точку максимума функции:
Пожалуйста, с подробнейшим решением.
Ответ
2.5/5
(2 оценки)
8
2.5/5
(2 оценки)
2
Гоша68
12 лет назад
Светило науки - 6831 ответ - 61805 раз оказано помощи
Находим производную
y'=-2/3*3/2sqrt(x)+3=-sqrt(x)+3
находим критическую точку приравняв к нулю произодную
y'=0
x=9
проверяем что точка является точкой максимума, для чего находим вторую производную
y''=-1/2sqrt(x)<0
она меньше нуля поэтому в точке имеется максимум.
y(9)-max=-2/3*27+27+1=10
Мозг
Отвечающий
Для исследования функции сначала нужно взять производную. Чтобы проще было взять воспользуемся формулой сложения степеней:
Получим что:
Теперь перепишем функцию:
И берем производную:
Дальше найдем точку где производная обращается в 0.
Для этого решаем уравнение:
Это будет точка экстремума. Но точка экстремума может быть как минимумом так и максимумом. Надо показать что это максимум. Как это делается. Есть 2 метода.
1 метод:
Рассмотрим как ведет себя производная при x<9 и при x>9. Очевидно, что при x>9 производная
. Значит функция растет. При x>9, наоборот [tex]3-sqrt{x}<0[/tex]. Значит функция убывает. Если до точки х=9 функция растет, а после нее убывает, то получается что это максимум функции
2 метод:
Возьмем вторую производную от исходной функции получим
. Для любых положительных х, вторая производная будет меньше нуля, т.е y''<0. Это необходимое и достаточное условие, чтобы функция была выпуклой вверх. Т.к. функция выпулкая вверх, то точка экстремума будет точкой максимума. ч.т.д
Ответ: точка максимума x=9, значение функции в этой точке y(9)=10