Новогодняя задача про тортик.

nПусть имеются круглые тортики радиусом R с постоянной высотой.

nМаша режет тортик традиционно - разрезами, проходящими через центр тортика на 8 равных частей.

nДаша хочет резать тортик по-научному, то есть вырезая куски из середины, а затем сдвигать оставшиеся части, чтобы тортик не засыхал.

nНа каком расстоянии от оси симметрии тортика (в долях от R) нужно проводить параллельные этой оси разрезы, чтобы первый кусок, отрезанный Дашей был симметричным относительно своих центральных осей и совпадал по объему с кусками, полученными у Маши?

nДля решения трансцендентного уравнения построить график средствами Microsoft Excel.

nЗаписать общий вид трансцендентного уравнения для случая разрезания тортика Машей на N частей.
Ответ
5/5 (1 оценка)
1
Artem112 2 недели назад
Светило науки - 3464 ответа - 95621 помощь

Так как тортики имеют постоянную высоту, то вместо рассмотрения объемов буем рассматривать соответствующие площади оснований.

Площадь основания тортика радиуса R:

[tex]S=pi R^2[/tex]

Тогда, площадь основания одного Машиного куска:

[tex]S=dfrac{pi R^2}{8}[/tex]

Рассмотрим Дашин кусок (на картинке). Вертикальной и горизонтальной прямой разобьем его на 4 равные части и рассмотрим одну из них. Проведем еще одну прямую так, чтобы эта часть разделилась на сектор и прямоугольные треугольник.

Рассмотрим полученный сектор. Пусть α - угол между радиусами, образующими сектор. Тогда, площадь сектора:

[tex]S_1=dfrac{pi R^2}{2pi} cdot alpha[/tex]

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Зная, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, получим, что один из острых углов этого треугольника равен α. Выразим через этот угол и известный радиус катеты треугольника:

[tex]sin alpha=dfrac{d}{R} Rightarrow d=Rsin alpha[/tex]

[tex]cos alpha=dfrac{x}{R} Rightarrow x=Rcos alpha[/tex]

Площадь прямоугольного треугольника:

[tex]S_2=dfrac{dx}{2} =dfrac{Rsin alpha cdot Rcosalpha }{2} =dfrac{R^2sin alpha cosalpha }{2}[/tex]

Тогда, запишем сумму, представляющую площадь основания четверти кусочка Даши:

[tex]dfrac{S}{4}=S_1+S_2=dfrac{pi R^2}{2pi} cdot alpha+dfrac{R^2sin alpha cosalpha }{2}[/tex]

Отсюда площадь основания кусочка Даши:

[tex]S=dfrac{4pi R^2}{2pi} cdot alpha+dfrac{4R^2sin alpha cosalpha }{2}[/tex]

По условию куски Маши и Даши должны быть одинаковы. значит:

[tex]dfrac{pi R^2}{8}=dfrac{4pi R^2}{2pi} cdot alpha+dfrac{4R^2sin alpha cosalpha }{2}[/tex]

[tex]dfrac{pi}{8}=dfrac{4pi}{2pi} cdot alpha+dfrac{4sin alpha cosalpha }{2}[/tex]

[tex]dfrac{pi}{8}=2alpha+sin2alpha[/tex]

[tex]2alpha+sin2alpha=dfrac{pi}{8}[/tex]

[tex]2alpha+sin2alpha-dfrac{pi}{8}=0[/tex]

Для решения уравнения построим график в Microsoft Excel (картинка).

По графику определим, что равенство выполняется при [tex]alpha approx 0.1[/tex].

График при [tex]xto0[/tex] напоминает прямую, так как в данном случае имеем место быть первый замечательный предел.

Действительно, можно считать, что рассматриваемый угол α мал. Тогда: [tex]limlimits_{alpha to0}dfrac{sin2alpha }{2alpha }[/tex] в соответствии с первым замечательным пределом. Тогда от имеющегося уравнения можно перейти к более простому:

[tex]2alpha+sin2alpha-dfrac{pi}{8}=0[/tex]

[tex]2alpha+2alpha-dfrac{pi}{8}approx0[/tex]

[tex]4alphaapproxdfrac{pi}{8}[/tex]

[tex]alphaapproxdfrac{pi}{32}approx0.098approx0.1[/tex]

Искомое расстояние от оси симметрии соответствует уже вводившейся величине d:

[tex]d=Rsin alpha=Rsin 0.1[/tex]

По той же причине синус малого аргумента можно заменить самим этим аргументом. Получим:

[tex]boxed{d=0.1R}[/tex]

В частности, для практических целей выполненные приближенные допущения вполне допустимы и удачны.

Вернемся к полученному ранее уравнению:

[tex]2alpha+sin2alpha=dfrac{pi}{8}[/tex]

Заметим, что информация о том, что Маша разрезала свой тортик на 8 частей, сосредоточена в знаменателе правой части. Поэтому, если изначально Маша разрезала тортик на N частей, то проведя аналогичные рассуждения мы получим уравнение вида:

[tex]boxed{2alpha+sin2alpha=dfrac{pi}{N}}[/tex]