Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d.
ПОМОГИТЕ ПЛИЗ
ПОМОГИТЕ ПЛИЗ
1.3/5
(4 оценки)
3
Мозг
Отвечающий
В плане максимума V от V^2 ничем не отличается - нам, где максимум у V, там же и у V^2, и наоборот.
V^2 = x^2 * y^2 * z^2 = x^2 * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2)
На границе интересующей нас области V^2 = 0, а внутри не 0 -> максимум достигается где-то внутри
V^2 - равномерно дифференцируема -> максимум может достигаться только там, где равны нулю частные производные.
d/dx: 2x * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2x = 0
2xy^2 (d^2 - x^2 - y^2 - x^2) = 0
2x^2 + y^2 = d^2 (*)
d/dy: x^2 * 2y * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2y = 0
2yx^2 (d^2 - x^2 - y^2 - y^2) = 0
x^2 + 2y^2 = d^2 (**)
Вычитая из (*) (**) получаем
x^2 - y^2 = 0
x = y
Подставляем в любое из уравнений, получаем, что x^2 = y^2 = d^2 / 3, откуда z^2 = d^2 / 3
x = y = z = d / sqrt(3) и искомый параллелепипед - куб.