Число диагоналей (D) многоугольника вычисляется по формуле:

[tex]D=dfrac{n(n-3)}{2}[/tex]

Где n - количество сторон многоугольника.

По условию имеем следующее уравнение:

[tex]D=4n;\\dfrac{n(n-3)}2 =4n; |cdot 2;\n(n-3)=8n;|:nne0[/tex]

n≠0 т.к. количество сторон является натуральным числом.

n-3 = 8;

n = 8+3 = 11.

Если в многоугольнике 11 сторон, то и 11 вершин.

Ответ: 11.