+10
3 года назад
Алгебра
Студенческий
Решение x=4 очевидно, нужно доказать что других решений нет
Преобразовав
1) (log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)) = 2-4/x
2) Рассмотрим функцию
y=log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)
D(x) = (0,+oo)
y'=(log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)) ' = (x^2-16)/(x(x^2+16)ln2) - 2^(x/4-2)*ln2
y'<0
(x^2-16)/(x(x^2+16)*ln2) - 2^(x/4-2)*ln2 < 0
x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2+64 > 4x^2
x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2+64 >= x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 > 4x^2
2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 > 4x (так как x>0)
но 2^(x/4)>0
ln2 > 0
По равенству о средних для x>0
x^2+16>=8x
Откуда
2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 - 4x>0
при x>0
то есть функция убывает на (0,+oo)
3)
y=2-4/x
это гипербола которая возрастает на (-oo,0) U (0,+oo)
4) Откуда одно решение
Решение x=4 очевидно, нужно доказать что других решений нет
Преобразовав
1) (log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)) = 2-4/x
2) Рассмотрим функцию
y=log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)
D(x) = (0,+oo)
y'=(log(2)((x^2+16)/x)-2^(x/4)) ' = (x^2-16)/(x(x^2+16)ln2) - 2^(x/4-2)*ln2
y'<0
(x^2-16)/(x(x^2+16)*ln2) - 2^(x/4-2)*ln2 < 0
x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2+64 > 4x^2
x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2+64 >= x*2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 > 4x^2
2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 > 4x (так как x>0)
но 2^(x/4)>0
ln2 > 0
По равенству о средних для x>0
x^2+16>=8x
Откуда
2^(x/4)*(x^2+16)*(ln2)^2 - 4x>0
при x>0
то есть функция убывает на (0,+oo)
3)
y=2-4/x
это гипербола которая возрастает на (-oo,0) U (0,+oo)
4) Откуда одно решение