1)

При решении логарифмических уравнений всегда сначала нужно находить область определения. Аргумент логарифма всегда должен быть положительным, а основание - не только положительным, но и неравным единице. С основаниями всё в порядке, поскольку - это логарифм с основанием 10. Теперь с аргументами. 12 и 6 положительны, а вот у логарифма в левой части уравнения в аргументе находится переменная, а потому область определения является решением неравенства:

Нули:   .

          +                          -                               +

--------------------о---------------------------о-----------------------> x

Таким образом, запишем область определения функции:

По свойству логарифма:   , тогда для нашего случая:

Так как основания логарифмов одинаковые, мы можем приравнять аргументы.

Оба корня входят в выведенную нами область определения, а потому они оба являются решениями уравнения.

Ответ: .

2)

Для нахождения области определения проверяем каждое расписанное мной сверху свойство для каждого логарифма. В итоге должно получиться:

Теперь воспользуемся двумя свойствами логарифмов. Первое мы применяли в прошлом уравнении, а второе:   .

По основному свойству пропорции:

Корень входит в область определения, а значит, является решением уравнения.

Ответ: -1.

3)

Уже по стандарту находим область определения.

Воспользуемся свойством логарифма: . Двойку в правой части нам нужно заменить на тождественный ей логарифм по основанию 3, таким будет  .

По теореме Виета:

А теперь внимание, то, зачем мы искали область определения. Напомню, она у нас была . Найденный нами корень -7 в этот промежуток не входит, а потому решением уравнения НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. С корнем 3 же всё нормально, а значит, уравнение имеет одно решение.

Ответ: 3.

4)

Область определения:

Верхнее неравенство решим отдельно.

Нули: .

            -                             +                              -

-----------------------о---------------------------о-----------------------> x

0 - это логарифм с аргументом 1, при этом основание может быть любым допустимым. Например, 2, как в нашем случае:  . Пользуемся тем же свойством.

Откуда получаем, что:

По теореме Виета:

Опять сравниваем с областью определения. Легко заметить, что 2 в неё не входит, а значит, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ. А -1 входит туда, поэтому уравнение имеет одно решение.

Ответ: -1.