Ответ:
x∈ (-n-2;-n+2]
Пошаговое объяснение:
[tex]a_n=\frac{1}{2^n}[/tex]
Вычислим радиус сходимости:
[tex]R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\\R= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n} }{\frac{1}{2^{n+1}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{2*2^n}{2^n}=2[/tex]
Находим область сходимости степенного ряда:
[tex]x_1=-n-2\\x_2=-n+2\\[/tex]
x∈(-n-2; -n+2)
Остаётся проверить сходимость ряда на концах данного интервала.
При х = -n-2 мы получим следующий ряд:
∑[tex]\frac{1}{2^n}*n((-n-2)+1)^n[/tex]=∑[tex]\frac{-2(-n-1)^n}{2^n}[/tex]
Рассмотрим первых 3 члена данного ряда: -2; 1/8; -128
Данный ряд будем исследовать по признакам Лейбница
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2(-n-1)^n}{2^n} \\2>\frac{1}{8} <128\\ \lim_{n \to \infty} \frac{2(-n-1)^n}{2^n} =0[/tex]
Как видим, выполняется лишь второе условие Лейбница, а значит ряд расходится => x=-n-2 является точкой расходимости.
Рассматриваем второй конец x=-n+2
Получаем следующий ряд
∑[tex]\frac{1}{2^n}*n((-n+2)+1)^n[/tex]=∑[tex]\frac{2(-n+3^n)}{2^n}[/tex]
Тут исследуем по признакам Даламбера
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=q[/tex]
q=1 - неопределённость, т.к. при q>1 ряд расходится, а при q<1 - сходится.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2(-(n+1)+3)^{n+1}}{2^{n+1}} }{\frac{2(-n+3)^n}{2^n} }= \lim_{n \to \infty} \frac{2^{(-n+2)}^{n+1}}{2^{(-n+3)}^n} *\frac{2^n}{2^{n+1}}= \lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n+2}^{n+1}}{2*2^{-n+3}^n} =\frac{1}{2}[/tex]
q<1 , а это значит, что ряд сходится. х=-n+2 является точкой сходимости.
Тогда данный степенной ряд является сходящимся при x∈ (-n-2;-n+2]
