Условие:

Найдите радианную меру угла, равную 25°.

--------------------------------------------------------------------------------------

Как известно,

градусы ·  [tex]\dfrac{\pi}{180^\circ}[/tex] = радианы

радианы · [tex]\dfrac{180^\circ}{\pi}[/tex] = градусы

Значит,

[tex]\boldsymbol{25^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{5\pi}{36}}[/tex]

Решение приложено

==========================================================

Дано:  AO = 15 см ; BO = 8 см ; АC = 27 см ; DO = 10см.

Доказать: ABCD - трапеция

============================================================

CO = AC - AO = 27 - 15 = 12 см

Рассмотрим ΔВОС и ΔАОD:

СО/АО = 12/15 = 4/5

ВО/DO = 8/10 = 4/5

Значит, СО/AO = BO/DO = 4/5  и ∠ВОС = ∠AOD - как вертикальные углы

Из этого следует, что ΔBOC подобен ΔAOD по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

В подобных треугольниках напротив пропорциональных сторон лежат равные углы  ⇒  ∠BCO = ∠OAD , ∠CBO = ∠ODA - как накрест лежащие углы

Следовательно, ВС || AD  ⇒  ABCD - трапеция, что и требовалось доказать.

========================================================

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

========================================================

AB = a = 45 : 3 = 15 см

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется через его сторону:

[tex]R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\\[/tex]

Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, вычисляется через его сторону:

[tex]R=\frac{b\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}\\\\[/tex]

Приравниваем правые части и находим искомую величину:

[tex]\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}\\\\b=\frac{2a\sqrt{3}}{3\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\frac{2a\sqrt{3*(4-2\sqrt{2})}}{3\sqrt{4+2\sqrt{2}}*\sqrt{4-2\sqrt{2}}}=\\\\=\frac{2a\sqrt{12-6\sqrt{2}}}{6\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{6-3\sqrt{2}}}{3*2}=\\\\=\frac{a\sqrt{6-3\sqrt{2}}}{3}=5\sqrt{6-3\sqrt{2}}\\\\[/tex]

b - сторона правильного шестиугольника

b ≈ 6,63 см

ОТВЕТ: 5√(6 - 3√2)

Теорема

• Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскости равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

см. картинку

[tex]S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\cdot{cos\alpha}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\boldsymbol{cos\alpha=\dfrac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}}[/tex]

S abc = 48 см²

Найдем площадь треугольника А₁В₁С₁ по формуле Герона.

[tex]S=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}[/tex]

где  [tex]p = \frac{a+b+c}{2}[/tex] , a,b,c - стороны треугольника

[tex]p_{\;\;A_1B_1C_1}=\dfrac{A_1C_1+A_1B_1+B_1C_1}{2}=\dfrac{16+14+6}{2}=\dfrac{36}{2}=18[/tex]

[tex]S_{A_1B_1C_1}=\sqrt{18*(18-16)*(18-14)*(18-6)}=\sqrt{18*2*4*12}=\\\\=\sqrt{9*2*2*4*4*3}=3*2*4*\sqrt{3}=24\sqrt{3}[/tex]

S  a1b1c1 = 24√3  см²

Значит,

[tex]cos\alpha=\dfrac{24\sqrt{3}}{48}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

∠α = 60° - острый угол между данными плоскостями.

Ответ: 60°

В ромбе все четыре стороны равны: АВ = ВС = CD = AD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам ⇒ BO = OD = BD/2 = 10/2 = 5 см, АК = ВО = OD = 5 см

В ΔАВС (AB = BC) высоты АК и ВО равны ⇒ равны и стороны, к которым они проведены в силу площади треугольника: S = (1/2)•AK•BC = (1/2)•BO•AC ⇒ ВС = АС, но АВ = ВС, значит, ΔАВС - равносторонний, АВ = ВС = АС, все углы равны по 60°.

Угол между АК и BD равен углу между перпендикулярами АК и BO. Угол между перпендикулярами АК и BO, проведёнными к сторонам угла АСВ, равен самому углу АСВ, это несложно доказать. В четырёхугольнике СОЕК: ∠ЕОС + ∠ЕКС = ∠КЕО + ∠ОСК = 90° + 90° = 180°, ∠ВЕК = 180° - ∠КЕО = ∠ОСК ⇒ ∠ВЕК = ∠ОСК = 60°, значит, ∠(АК;ВD) = 60°

Ответ: 60°

                        Развитие жизни на Земле

Солнечная система сформировались около 4,5 - 3,5 млрд лет назад из газово-полевого облака.

Геологическая история Земли подразделяется на крупные промежутки времени - эры, которые делятся на периоды. Это разделение прежде всего связано с крупными геологическими процессами, изменявшими очертания нашей планеты.

Эон:  Криптозой (скрытая жизнь)

Эра:  Архейская

• Периоды отсутствуют

1. Начало: 3,5 млрд лет назад
2. Окончание: 2,5 млрд лет назад
3. Длительность: 1 млрд

Эра:  Протерозойская

• Периоды отсутствуют

1. Начало: 2,5 млрд лет назад
2. Окончание: 0,5 млрд лет назад
3. Длительность: 2 млрд лет

Эон:  Фанерозой (явная жизнь)

Эра:  Палеозойская

Периоды:

• Кембрий
• Ордовик
• Силур
• Девон
• Карбон
• Пермь

1. Начало: 0,5 млрд лет назад
2. Окончание: 160 млн лет назад
3. Длительность: 340 млн лет

Эра:  Мезозойская

Периоды:

• Триас
• Юра
• Мел

1. Начало: 160 млн лет назад
2. Окончание: 60 млн лет назад
3. Длительность: 100 млн лет

Эра:  Кайнозойская

Периоды:

• Палеоген
• Неоген
• Антропоген

1. Начало:  60 млн лет назад
2. Длительность: по настоящее время

2х + 9 = 13 - х

2х + х = 13 - 9

3х = 4

[tex]x=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\\\\[/tex]

Ответ: [tex]1\frac{1}{3}\\\\[/tex]

Вычислите косинус бо'льшего угла треугольника ABC, если а = 40, b = 13, c = 37.

============================================================

В треугольнике бо'льший угол лежит против бо'льшей стороны  ⇒  cos∠B - искомый

По теореме косинусов:

АС² = АВ² + ВС² - 2•АВ•ВС•cos∠B

40² = 13² + 37² - 2•13•37•cos∠B

1600 = 169 + 1369 - 2•13•37•cos∠B

2•13•37•cos∠B = - 62

cos∠B = - 62/2•13•37 = - 31/13•37 = - 31/481 ≈ - 0,06

ОТВЕТ: - 31/481

[tex]\frac{\sqrt{\big{\:1-cos\alpha\:}}}{\sqrt{\big{\:1+cos\alpha\:}}}\:+\:\frac{\sqrt{\big{\:1+cos\alpha\:}}}{\sqrt{\big{\:1-cos\alpha\:}}}\:=\:\frac{\Big(\:\sqrt{\big{\:1-cos\alpha\:}}\:\:\Big)^\big2\:+\:\:\Big(\:\sqrt{\big{\:1+cos\alpha\:}}\:\:\Big)^\big2}{\sqrt{\big{(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}}}\:=\\\\\\\\=\:\frac{\big{1-cos\alpha+1+cos\alpha}}{\sqrt{\big{\:1-cos^2{\alpha}\:}}}\:=\:\frac{\big2}{\sqrt{\big{\:sin^2{\alpha}\:}}}\:=\:\frac{\big2}{\big{|\:sin{\alpha}\:|}}\\\\[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\Big(\sqrt{\:a\:}\:\Big)^2\:=\:a\\\\\sqrt{\big{\:b^2\:}}\:=\:|\:b\:|\\\\[/tex]

Промежуточный продукт - это то, что идёт в дальнейший процесс производства (сырьё, материалы, полуфабрикаты и т.п.), не учитывается в ВВП

Конечный продукт - это то, что идёт на конечное потребление, и не предназначена для дальнейшей производственной переработки или перепродажи (одежда, обувь, мебель и т.п.)

[tex]a^{2}-3ab-4b^{2}=0\\[/tex]

Разделим обе части на b²,  b≠0

[tex]\dfrac{a^2}{b^2}-\dfrac{3ab}{b^2}-\dfrac{4b^2}{b^2}=0\\\\\Big(\dfrac{a}{b}\Big)^{2}-3*\dfrac{a}{b}-4=0\\\\D_{\frac{a}{b}}=(-3)^2-4*1*(-4)=9+16=25\\\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{3+\sqrt{25}}{2}=4\\\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{3-\sqrt{25}}{2}=-1\\[/tex]

Значит, a = 4b и a = - b

Сумма внешних углов ΔАВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равно 240°. Чему равен угол С треугольника?

Дано: ΔABC, ∠1+∠2=240°.

Найти: ∠С

Решение:

• ∠1+∠3=180°
• ∠2+∠4=180°

Как смежные углы

• ∠3=180° - ∠1
• ∠4=180° - ∠2

Сумма всех углов треугольника равна 180°:

∠3 + ∠4 + ∠С = 180°

∠С = 180° - ∠3 - ∠4 = 180° - (180° - ∠1) - (180° - ∠2) = ∠1 + ∠2 - 180° = 240° - 180° = 60°

Ответ: 60°.

Пусть х - неизвестное число, тогда 5/9 числа равны 3/17 этого же числа.

Составим уравнение:

[tex]\dfrac{5}{9}*x=\dfrac{3}{17}*x\\\\\dfrac{5}{9}*x-\dfrac{3}{17}*x=0\\\\\Big(\dfrac{5}{9}-\dfrac{3}{17}\Big)*x=0\\\\\Big(\dfrac{85}{153}-\dfrac{27}{153}\Big)*x=0\\\\\dfrac{58}{153}*x=0\\\\x=0[/tex]

Значит, х = 0 - неизвестное число.

Ответ: 0.

В прямоугольной трапеции ме'ньшее основание равно 3 см, бо'льшая боковая сторона равна 4 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь трапеции.

=============================================================

Опустим из вершины С высоту СE на AD ⇒ ∠ECD = 150° - 90° = 60°

B ΔCED: ∠EDC = 90° - 60° = 30°

" Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы "

CE = CD/2 = 4/2 = 2 см

По т. Пифагора:

ED² = CD² - CE² = 4² - 2² = 16 - 4 = 12  

ED = 2√3 см

BC || AD, AB || CE  ⇒ ABCE - прямоугольник  ⇒  AB = CE = 2 см, ВС = АЕ = 3 см, AD = AE + ED = 3 + 2√3 см

S abcd = (1/2) • ( BC + AD ) • AB = (1/2) • ( 3 + 2√3 ) • 2 = ( 3 + 2√3 ) см²

ОТВЕТ: ( 3 + 2√3 ) см²

Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 10 см и 18 см, если её боковая сторона образует с бо'льшим основанием угол в 60°.

=============================================================

Опустим из вершин равнобедренной трапеции высоты ВЕ и СН на основание AD ⇒ BC = EH = 10 см, ЕН = HD = (AD - BC)/2 = (18 - 10)/2 = 8/2 = 4 см

Рассмотрим ΔАВЕ (∠АЕВ = 90°):

tg60° = BE / AE  ⇒  BE = AE•tg60° = 4•√3 см

ВЕ = СН = 4√3 см

Площадь трапеции ABCD:

S abcd = (BC + AD)•BE/2 = (10 + 18)•4√3/2 = 28•2√3 = 56√3 см²

ОТВЕТ: S abcd = 56√3 см²